5.3.1. 二次规划建模¶

二次规划（Quadratic Programming， QP）问题可以用以下数学形式表示：

\[\begin{split}\min \quad&-c^f + c^Tx + \frac{1}{2}x^T Q x \\ \mbox{s.t.} \quad&l^r \leq Ax \leq u^r, \\ & l^c \leq x \leq u^c,\end{split}\]

其中

\(x \in \mathbb{R}^{n}\) 是决策变量，
\(l^c \in \mathbb{R}^{n}\) 和 \(u^c \in \mathbb{R}^{n}\) 分别为 \(x\) 的下界和上界，
\(c^f \in \mathbb{R}\) 是目标函数中的常量，
\(c \in \mathbb{R}^{n}\) 是目标函数中的系数，
\(Q \in \mathbb{R}^{n\times n}\) 是目标函数中二次项的系数，
\(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是约束矩阵，
\(l^r \in \mathbb{R}^{m}\) 和 \(u^r \in \mathbb{R}^{m}\) 分别为是约束的下界和上界。

使用 MindOpt 的步骤为：

创建优化模型；
输入优化问题并设置算法参数；
求解优化问题并获取解。

Note

MindOpt 仅存储中的约束矩阵 \(A\) 和二次矩阵 \(Q\) 中的 非零元；因此，使用时只需要输入 非零元 在约束矩阵中的 行列位置 (row/column index) 以及对应的 非零数值 (nonzero value）。

5.3.1.1. 二次规划问题示例¶

在下文中，我们将考虑下列二次规划问题：

\[\begin{split}\begin{matrix} \min & & 1 x_0 & + & 1 x_1 & + & 1 x_2 & + & 1 x_3 \\ & + 1/2 [ & x_0^2 & + & x_1^2 & + & x_2^2 & + & x_3^2 & + & x_0 x_1 & ] \\ \mbox{s.t.} & & 1 x_0 & + & 1 x_1 & + & 2 x_2 & + & 3 x_3 & \geq & 1 \\ & & 1 x_0 & & & - & 1 x_2 & + & 6 x_3 & = & 1 \end{matrix}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{matrix} 0 & \leq & x_0 & \leq & 10 \\ 0 & \leq & x_1 & \leq & \infty \\ 0 & \leq & x_2 & \leq & \infty \\ 0 & \leq & x_3 & \leq & \infty \end{matrix}\end{split}\]

我们将展示如何使用 MindOpt 建模和求解这个优化问题。二次规划与线性规划的区别在于二次项矩阵的输入。对于线性约束的建模，依然可以通过以下两种形式来输入矩阵中的非零元：

按 行（约束） 排列；
按 列（变量） 排列。

具体可以参考线性规划建模。对于二次项系数矩阵 \(Q\)，为了保证对称性，用户只需输入其下三角的部分，并且在求解器内部会乘以 1/2.

接下来，我们将针对不同语言分别给出示例。