6.4. 多目标问题求解¶
当问题是线性问题时，用户想要同时优化多个目标的时候，可以使用多目标功能。
在大多数情况下，求解器并不能为所有的目标函数找到最优值，用户需要将各个目标函数按照优先级排序， 求解器将会优先保证重要的目标函数取得更优的值。
但这也不是一定的，用户可以配置一些参数，让“更重要” 的目标函数“适度”牺牲一些最优性，让后续“不重要”的目标函数能获得更大的优化自由度。
用户可以通过各SDK的API函数，或属性来使用多目标功能，具体SDK的API细节请参考API文档。
备注
多目标功能只支持线性规划，包括 LP 和 MILP。
6.4.1. 用户接口¶
6.4.1.1. 优先级¶
每一个目标函数，可以配置一个对应的优先级（属性 ObjNPriority )，求解器在求解多目标问题时， 往往会有多轮求解。求解顺序即是由“优先级”来确定的。
每一轮求解，都是在尽量不影响前续目标函数值的约束下，将当前目标函数优化到最优。
6.4.1.2. 权重¶
每一个目标函数，可以配置一个对应的权重（属性 ObjNWeight ），当有两个或两个以上的目标函数， 有相同的优先级时，他们会被合并为同一个目标，并只会求解一轮。合并后的新目标函数，就是原来每个 目标函数的加权和。
6.4.1.3. 容差¶
用户可以定义绝对容差（属性 ObjNAbsTol ）和相对容差（属性 ObjNRelTol ），来“适度”的允许 之前那些“更重要”的目标函数值，有一定程度的下降。这样往往可以换取后续那些“不重要”的目标，其优化 程度得到显著的改善。
容差的定义和计算方式，将在下一节介绍。
6.4.2. 计算逻辑¶
6.4.2.1. 目标合并和排序¶
举个例子，有以下目标函数：
\[\begin{split}\begin{align*} &OBJ0 (Priority=1, Weight=2.0, AbsTol=1e-6, RelTol=0) \\ &OBJ1 (Priority=2, Weight=2.0, AbsTol=1e-5, RelTol=1e-5) \\ &OBJ2 (Priority=3, Weight=2.0, AbsTol=1e-6, RelTol=0) \\ &OBJ3 (Priority=2, Weight=1.0, AbsTol=1e-4, RelTol=1e-6) \end{align*}\end{split}\]优先级排序后，为：
\[\begin{split}\begin{align*} &OBJ2 (Priority=3, Weight=2.0, AbsTol=1e-6, RelTol=0) \\ &OBJ1 (Priority=2, Weight=2.0, AbsTol=1e-5, RelTol=1e-5) \\ &OBJ3 (Priority=2, Weight=1.0, AbsTol=1e-4, RelTol=1e-6) \\ &OBJ0 (Priority=1, Weight=2.0, AbsTol=1e-6, RelTol=0) \end{align*}\end{split}\]同优先级合并后，剩余3个目标函数：
\[\begin{split}\begin{align*} &OBJ2 (Priority=3, Weight=2.0, AbsTol=1e-6, RelTol=0) \\ &OBJ4 (Priority=2, Weight=1.0, AbsTol=1e-4, RelTol=1e-5) \\ &OBJ0 (Priority=1, Weight=2.0, AbsTol=1e-6, RelTol=0) \end{align*}\end{split}\]其中：
\[OBJ4 = 2.0 \times OBJ1 + 1.0 \times OBJ3\]注意，在合并的过程中，AbsTol和RelTol，取各个目标函数里最大的。
6.4.2.2. 求解过程¶
第一个目标的 AbsTol 和 RelTol 将会被忽略。
对于后续的目标优化，将使用 AbsTol 和 RelTol, 通过允许前续目标质量降低，来换取当前目标的优化 自由度。
如求解 \(OBJ4\)，上一个目标为 \(OBJ2\)。
如果是MILP问题，将添加一条约束（假设是最小化问题）：
\[OBJ2 <= rhs\]其中 \(rhs\) 是上一轮的目标值，和 AbsTol 与 RelTol 计算后，得到的最大松弛下界。
如果是LP问题，将通过固定一些变量的方式，来保障前续的目标。LP问题将忽略 RelTol，只使用 AbsTol：
上一轮求解得到了各变量的 ReducedCost ，当一个变量满足 \(ReducedCost \le AbsTol\) 时，它会被固定在对应的边界上。
用户可以通过加入无用整型变量的方式，让多目标强制执行MILP的分支计算逻辑。