5.6.1. 混合整数二次约束规划建模¶
混合整数二次约束规划（Mixed Integer Quadratically Constrainted Program，MIQCP）问题可以用以下数学形式表示：
- 其中
\(x \in \mathbb{R}^{n}\) 是决策变量，
\(l^c \in \mathbb{R}^{n}\) 和 \(u^c \in \mathbb{R}^{n}\) 分别为 \(x\) 的下界和上界，
\(c^f \in \mathbb{R}\) 是目标函数中的常量，
\(c \in \mathbb{R}^{n}\) 是目标函数中线性项的系数向量，
\(Q_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}\) 是目标函数中二次项的系数矩阵，
\(\{a_i \in \mathbb{R}^{n}\mid i=1,2,\cdots,m\}\) 是约束中线性项的系数向量，
\(\{Q_i \in \mathbb{R}^{n\times n}\mid i=1,2,\cdots,m\}\) 是约束中二次项的系数矩阵，
\(u^r \in \mathbb{R}^{m}\) 是约束的上界,
\(部分 x_k \in \mathbb{Z}\) 是指 \(x\) 变量中部分元素为整数的约束。
备注
目前 MindOpt 支持求解 凸 的混合整数二次约束规划问题。具体来说：
目标函数中的二次项矩阵 \(Q_0\) 必须是 半正定 的。
每一个二次约束都必须定义一个 凸可行域。 MindOpt 会在以下几种情况中自动识别其凸性：
对于形式为 \(x^\top Q_i x + a_i^\top x \leq u_i^r\) 的约束，其矩阵 \(Q_i\) 必须是 半正定 的。
对于形式为 \(x^\top Q_i x + a_i^\top x \geq l_i^r\) 的约束，其矩阵 \(Q_i\) 必须是 半负定 的。
对于形式为 \(x^\top Q_i x + a_i^\top x \leq y^2\) 的约束，其矩阵 \(Q_i\) 必须是 半正定 的，并且 y 必须是非负变量（当 \(Q_i = I\) 为单位矩阵时，约束类型为二阶锥约束）。
对于形式为 \(x^\top Q_i x + a_i^\top x \leq yz\) 的约束，其矩阵 \(Q_i\) 必须是 半正定 的，并且 y 和 z 必须都是非负变量（当 \(Q_i = I\) 为单位矩阵时，约束类型为旋转二阶锥约束）。
使用 MindOpt 的步骤为：
创建优化模型；
输入优化问题并设置算法参数；
求解优化问题并获取解。
备注
MindOpt 仅存储中的问题系数中的 非零元；因此，使用时只需要输入 非零元 在约束矩阵中的 行列位置 (row/column index) 以及对应的 非零数值 (nonzero value）。
5.6.1.1. MIQCP题示例¶
在下文中，我们将考虑两个混合整数二次目标(约束)规划问题：
5.6.1.1.1. MIQCP示例1¶
5.6.1.1.2. MIQCP示例2¶
我们将展示如何使用 MindOpt 建模和求解这个优化问题。 对于目标函数与二次约束中的二次项系数矩阵 \(Q_0\) 和 \(\{Q_i \mid i=1,2,\cdots,m\}\) ，为了保证对称性，用户只需输入其下三角的部分。
我们将分别给出不同编程语言下的示例，来展示如何使用 MindOpt 建模和求解这个优化问题。