5.4.1. 二次约束规划建模

二次约束规划（Quadratically Constrained Programming， QCP）问题可以用以下数学形式表示：

\[\begin{split}\begin{matrix} \min & & x^T Q_0 x &+& c^Tx &-& c^f \\ \mbox{s.t.} & & x^T Q_i x &+& a_i^\top x & \leq & u_i^r, & \quad i = 1, 2, \cdots, m \\ & & l^c &\leq& x &\leq& u^c, \end{matrix}\end{split}\]
其中

  • \(x \in \mathbb{R}^{n}\) 是决策变量，

  • \(l^c \in \mathbb{R}^{n}\) 和 \(u^c \in \mathbb{R}^{n}\) 分别为 \(x\) 的下界和上界，

  • \(c^f \in \mathbb{R}\) 是目标函数中的常量，

  • \(c \in \mathbb{R}^{n}\) 是目标函数中线性项的系数向量，

  • \(Q_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}\) 是目标函数中二次项的系数矩阵，

  • \(\{a_i \in \mathbb{R}^{n}\mid i=1,2,\cdots,m\}\) 是约束中线性项的系数向量，

  • \(\{Q_i \in \mathbb{R}^{n\times n}\mid i=1,2,\cdots,m\}\) 是约束中二次项的系数矩阵，

  • \(u^r \in \mathbb{R}^{m}\) 分别为是约束的上界。

备注

目前 MindOpt 支持求解凸二次约束规划，因此要求目标函数中的二次项系数 \(Q_0\) 与约束中的二次项系数 \(\{Q_i \mid i=1,2,\cdots,m\}\) 均为 半正定矩阵 。当用户以 \(\geq\) 的形式输入二次约束时，则要求对应二次项系数为 半负定矩阵 。

使用 MindOpt 的步骤为：

  1. 创建优化模型；

  2. 输入优化问题并设置算法参数；

  3. 求解优化问题并获取解。

备注

MindOpt 仅存储中的问题系数中的 非零元；因此，使用时只需要输入 非零元 在约束矩阵中的 行列位置 (row/column index) 以及对应的 非零数值 (nonzero value）。

5.4.1.1. 二次约束规划问题示例

在下文中，我们将考虑下列二次约束规划问题：

\[\begin{split}\begin{matrix} \min & & 1 x_0 & + & 1 x_1 & + & 1 x_2 & + & 1 x_3 \\ & + & \frac{1}{2}x_0^2 & + & \frac{1}{2}x_1^2 & + & \frac{1}{2} x_2^2 & + & \frac{1}{2} x_3^2 & + & \frac{1}{2} x_0 x_1 \\ \mbox{s.t.} & & 1 x_0 & + & 1 x_1 & + & 2 x_2 & + & 3 x_3 \\ & - & \frac{1}{2}x_0^2 & - & \frac{1}{2}x_1^2 & - & \frac{1}{2} x_2^2 & - & \frac{1}{2} x_3^2 & - & \frac{1}{2} x_0 x_1 & \geq & 1 \\ & & 1 x_0 & & & - & 1 x_2 & + & 6 x_3 & + & \frac{1}{2} x_1^2 & \leq & 1 \end{matrix}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{matrix} 0 & \leq & x_0 & \leq & 10 \\ 0 & \leq & x_1 & \leq & \infty \\ 0 & \leq & x_2 & \leq & \infty \\ 0 & \leq & x_3 & \leq & \infty \end{matrix}\end{split}\]

我们将展示如何使用不同编程语言调用 MindOpt 建模和求解这个优化问题。